4. Математикалық модельдеудегі матрицалар

4.1 Матрица. Декарттых тензордың матрицалық көрінісі

4.3 Екінші рангілі симметриялы тензордың бас мәндері және басты бағыттары

4.3 Екінші рангілі симметриялы тензордың бас мәндері және басты бағыттары

нүктесінде симметриялы тензоры және векторы анықталсын. векторына тензорымен әсер ете отырып, векторын аламыз:

(1.128)

Егер болса, онда

. (1.129)

Бұл жағдайда бағыты – тензорының бас осі немесе бас бағыты деп аталады. теңдігі орындалса, онда

. (1.130)

Осыдан келесі теңдеулер жүйесін аламыз:

(1.131)

– төрт белгісіз үшін шешімі бар болу үшін теңдігі орындалуы керек. (1.130) – жүйенің тривиалды емес шешімі болу үшін

, (1.132)

немесе

, (1.133)

теңдіктерінің орындалуы жеткілікті.

(1.133) – тензорының характеристикалық теңдеуі деп аталады. Ал оның скалярлық коэффициенттері

, (матрицасының ізі) (1.134)

, (1.135)

, (1.136)

сәйкесінше тензорының бірінші, екінші және үшінші инварианттары деп, ал (1.133) – теңдеуінің түбірлері – тензорының бас мәндері деп аталады.

Егер тензор симметриялы болса, онда . Егер , онда n₁n₂n₃ бас бағыттар өзара ортогональ болады.

Бас осьтерге көшкенде тензор келесі түрге ие болады:

, (1.137)

мұндағы .

жүйесінен бас осьтер жүйесіне түрлендіру келесі кесте элементтерімен беріледі:

Кесте 1.3

Бас осьтер жүйесінде түрленуі

Мұнда – j-ші бас бағыттың бағыттаушы косинустары, яғни